与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})$ を計算する問題です。ただし、$\sqrt{2} + \sqrt{3} = A$ とおくことが指示されています。

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})$ を計算する問題です。ただし、$\sqrt{2} + \sqrt{3} = A$ とおくことが指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{2} + \sqrt{3} = A$ とおきます。すると、与えられた式は $(A + \sqrt{5})(A - \sqrt{5})$ となります。

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形なので、次のように展開できます。

$(A + \sqrt{5})(A - \sqrt{5}) = A^2 - (\sqrt{5})^2 = A^2 - 5$

次に、$A$ を $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ に戻します。

$A^2 - 5 = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 5$

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ を展開します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

したがって、

$A^2 - 5 = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}$