方程式 $2m^2 + 5mn + 2n^2 = 36$ の整数解のうち、$m$ の値が最も大きい解を求め、$m$ と $n$ の値を答える。

1. 問題の内容

方程式 $2m^2 + 5mn + 2n^2 = 36$ の整数解のうち、$m$ の値が最も大きい解を求め、$m$ と $n$ の値を答える。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を因数分解する。

$2m^2 + 5mn + 2n^2 = (2m+n)(m+2n) = 36$

$m, n$ は整数なので、$2m+n$ と $m+2n$ も整数である。

$36$ の約数の組み合わせを考える。

$36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6 = (-1) \times (-36) = (-2) \times (-18) = (-3) \times (-12) = (-4) \times (-9) = (-6) \times (-6)$

$2m+n = a$、 $m+2n = b$ とおくと、

$2m+n = a$ ... (1)

$m+2n = b$ ... (2)

(1) - 2 * (2) より $2m+n - 2(m+2n) = a-2b$

$-3n = a - 2b$

$n = \frac{2b-a}{3}$

(2) - 2 * (1) より $m+2n - 2(2m+n) = b-2a$

$-3m = b - 2a$

$m = \frac{2a-b}{3}$

$m$ が最大となる $a, b$ の組み合わせを考える。

$2m+n$ と $m+2n$ が共に正の場合:

- $a=36, b=1$ のとき, $m=(72-1)/3 = 71/3$, $n=(2-36)/3=-34/3$ (整数でない)

- $a=18, b=2$ のとき, $m=(36-2)/3 = 34/3$, $n=(4-18)/3 = -14/3$ (整数でない)

- $a=12, b=3$ のとき, $m=(24-3)/3 = 7$, $n=(6-12)/3 = -2$

- $a=9, b=4$ のとき, $m=(18-4)/3 = 14/3$, $n=(8-9)/3=-1/3$ (整数でない)

- $a=6, b=6$ のとき, $m=(12-6)/3 = 2$, $n=(12-6)/3 = 2$

$2m+n$ と $m+2n$ が共に負の場合:

- $a=-1, b=-36$ のとき, $m=(-2+36)/3=34/3$, $n=(-72+1)/3=-71/3$ (整数でない)

- $a=-2, b=-18$ のとき, $m=(-4+18)/3=14/3$, $n=(-36+2)/3=-34/3$ (整数でない)

- $a=-3, b=-12$ のとき, $m=(-6+12)/3=2$, $n=(-24+3)/3=-7$

- $a=-4, b=-9$ のとき, $m=(-8+9)/3=1/3$, $n=(-18+4)/3=-14/3$ (整数でない)

- $a=-6, b=-6$ のとき, $m=(-12+6)/3 = -2$, $n=(-12+6)/3 = -2$

$m$ の値が最も大きい整数解は $m=7$ のとき $n=-2$ である。

3. 最終的な答え

$m=7$, $n=-2$