$p = a^2 - 2a + 2ab + b^2 - 2b$ とする。$p$ が素数となるような自然数 $a, b$ の組は何組あるか。

1. 問題の内容

$p = a^2 - 2a + 2ab + b^2 - 2b$ とする。$p$ が素数となるような自然数 $a, b$ の組は何組あるか。

2. 解き方の手順

まず、$p$ の式を因数分解する。

\begin{align*}

p &= a^2 - 2a + 2ab + b^2 - 2b \\

&= a^2 + 2ab + b^2 - 2a - 2b \\

&= (a+b)^2 - 2(a+b) \\

&= (a+b)(a+b-2)

\end{align*}

$p$ が素数であるためには、$(a+b)$ と $(a+b-2)$ のいずれか一方が1でなければならない。

$a$ と $b$ は自然数なので、$a+b \ge 2$ である。

したがって、$a+b-2=1$ でなければならない。

このとき、$a+b = 3$ となる。

すると、$p = (a+b)(a+b-2) = 3 \times 1 = 3$ となり、これは素数である。

$a+b = 3$ となる自然数 $a, b$ の組を考える。

$a=1$ のとき $b=2$

$a=2$ のとき $b=1$

したがって、$(a, b) = (1, 2), (2, 1)$ の2組である。

3. 最終的な答え

2組