袋の中に白玉が3個、赤玉が6個入っている。袋から1個取り出し、色を調べてから元に戻す、という試行を5回繰り返す。 (1) 白玉がちょうど4回出る確率を求める。 (2) 白玉が4回以上出る確率を求める。 (3) 5回目に3度目の赤玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が3個、赤玉が6個入っている。袋から1個取り出し、色を調べてから元に戻す、という試行を5回繰り返す。

(1) 白玉がちょうど4回出る確率を求める。

(2) 白玉が4回以上出る確率を求める。

(3) 5回目に3度目の赤玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉がちょうど4回出る確率

1回の試行で白玉が出る確率は $p = \frac{3}{3+6} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

5回の試行で白玉がちょうど4回出る確率は、二項分布の公式を用いる。

${}_5 C_4 p^4 (1-p)^{5-4} = {}_5 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

(2) 白玉が4回以上出る確率

白玉が4回出る確率と5回出る確率を足し合わせる。

白玉が5回出る確率は、${}_5 C_5 p^5 (1-p)^{5-5} = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$。

よって、求める確率は$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$。

(3) 5回目に3度目の赤玉が出る確率

4回目までに赤玉が2回、白玉が2回出て、5回目に赤玉が出る確率を求める。

4回目までに赤玉が2回、白玉が2回出る確率は、${}_4 C_2 (\frac{6}{9})^2 (\frac{3}{9})^2 = {}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$。

5回目に赤玉が出る確率は$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。

よって、求める確率は $\frac{8}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{243}$

(2) $\frac{11}{243}$

(3) $\frac{16}{81}$