7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。 (1) 大人が2人以上選ばれる。 (2) 少なくとも子供が1人選ばれる。

1. 問題の内容

7人の大人と5人の子供の中から3人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。

(1) 大人が2人以上選ばれる。

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる。

2. 解き方の手順

(1) 大人が2人以上選ばれる場合

* 大人2人、子供1人を選ぶ場合： $_7C_2 \times _5C_1$

* 大人3人、子供0人を選ぶ場合： $_7C_3 \times _5C_0$

それぞれの場合の数を計算し、足し合わせる。

$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5C_1 = 5$

$_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_5C_0 = 1$

よって、大人が2人以上選ばれる場合の数は、

$21 \times 5 + 35 \times 1 = 105 + 35 = 140$ 通り

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合

全体から子供が0人選ばれる場合（大人3人選ばれる場合）を引けば良い。

全体の選び方は $_{12}C_3$通りである。

大人3人を選ぶ選び方は $_{7}C_3$通りである。

全体の選び方は、

$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

大人3人を選ぶ選び方は、

$_{7}C_3 = 35$

よって、少なくとも子供が1人選ばれる場合の数は、

$220 - 35 = 185$ 通り

3. 最終的な答え

(1) 大人が2人以上選ばれる場合は 140 通り

(2) 少なくとも子供が1人選ばれる場合は 185 通り