3個のサイコロを同時に投げたとき、出た目のうちの最大値を $x$ とします。$x \times 1000$ 円の賞金がもらえるとき、得られる賞金の期待値を求めなさい。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げたとき、出た目のうちの最大値を $x$ とします。$x \times 1000$ 円の賞金がもらえるとき、得られる賞金の期待値を求めなさい。

2. 解き方の手順

サイコロの目の最大値が $k$ となる確率を $P(k)$ とします。賞金の期待値 $E$ は、以下の式で計算できます。

$E = \sum_{k=1}^{6} k \cdot 1000 \cdot P(k) = 1000 \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(k)$

$P(k)$ を求めるために、まず3個のサイコロの目が全て $k$ 以下である確率を $Q(k)$ とします。各サイコロの目が $k$ 以下である確率は $k/6$ なので、

$Q(k) = (\frac{k}{6})^3$

次に、3個のサイコロの目が全て $k-1$ 以下である確率を $Q(k-1)$ とします。

$Q(k-1) = (\frac{k-1}{6})^3$

サイコロの目の最大値が $k$ である確率は、3個のサイコロの目が全て $k$ 以下である確率から、3個のサイコロの目が全て $k-1$ 以下である確率を引けば求められます。したがって、

$P(k) = Q(k) - Q(k-1) = (\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3$

したがって、期待値 $E$ は以下のようになります。

$E = 1000 \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(k) = 1000 \sum_{k=1}^{6} k \cdot ((\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3) = \frac{1000}{6^3} \sum_{k=1}^{6} k(k^3 - (k-1)^3)$

$\sum_{k=1}^{6} k(k^3 - (k-1)^3) = \sum_{k=1}^{6} k(k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1)) = \sum_{k=1}^{6} k(3k^2 - 3k + 1) = \sum_{k=1}^{6} (3k^3 - 3k^2 + k) = 3\sum_{k=1}^{6}k^3 - 3\sum_{k=1}^{6}k^2 + \sum_{k=1}^{6}k$

ここで、

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$

したがって、

$\sum_{k=1}^{6} k = \frac{6 \times 7}{2} = 21$

$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$

$\sum_{k=1}^{6} k^3 = (\frac{6 \times 7}{2})^2 = 21^2 = 441$

$\sum_{k=1}^{6} (3k^3 - 3k^2 + k) = 3 \times 441 - 3 \times 91 + 21 = 1323 - 273 + 21 = 1071$

$E = \frac{1000}{6^3} \times 1071 = \frac{1000}{216} \times 1071 = \frac{1071000}{216} = 4958.333...$

3. 最終的な答え

4958.333... 円

賞金の期待値は約4958.33円です。