(1) 大、中、小の3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が8になる場合は何通りあるかを求める問題。 (2) 1から4までの番号がついた箱とボールがあり、すべての箱にそれぞれボールを1個ずつ入れるとき、箱の番号とボールの番号がすべて異なるような入れ方は何通りあるかを求める問題。

1. 問題の内容

(1) 大、中、小の3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が8になる場合は何通りあるかを求める問題。

(2) 1から4までの番号がついた箱とボールがあり、すべての箱にそれぞれボールを1個ずつ入れるとき、箱の番号とボールの番号がすべて異なるような入れ方は何通りあるかを求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

まず、サイコロの目の最小値は1なので、大、中、小のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x + y + z = 8$ かつ $1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たす整数の組み合わせを考える。

$x, y, z$はそれぞれ1以上である必要があるため、 $x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1$とおくと、$x', y', z'$は0以上の整数となる。

このとき、

$x'+1 + y'+1 + z'+1 = 8$

$x' + y' + z' = 5$

となる。

$x', y', z' \le 5$を満たす0以上の整数の組み合わせを探す。

すべての組み合わせを列挙すると以下の通り。

(0,0,5),(0,1,4),(0,2,3),(0,3,2),(0,4,1),(0,5,0)

(1,0,4),(1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(1,4,0)

(2,0,3),(2,1,2),(2,2,1),(2,3,0)

(3,0,2),(3,1,1),(3,2,0)

(4,0,1),(4,1,0)

(5,0,0)

上記を$x, y, z$に直すと

(1,1,6),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,3),(1,5,2),(1,6,1)

(2,1,5),(2,2,4),(2,3,3),(2,4,2),(2,5,1)

(3,1,4),(3,2,3),(3,3,2),(3,4,1)

(4,1,3),(4,2,2),(4,3,1)

(5,1,2),(5,2,1)

(6,1,1)

ここで、大小中の区別があるので、順列を考慮する。

(1,1,6) -> 3通り

(1,2,5) -> 6通り

(1,3,4) -> 6通り

(1,4,3) -> 6通り

(1,5,2) -> 6通り

(1,6,1) -> 3通り

(2,1,5) -> 6通り

(2,2,4) -> 3通り

(2,3,3) -> 3通り

(2,4,2) -> 3通り

(2,5,1) -> 6通り

(3,1,4) -> 6通り

(3,2,3) -> 3通り

(3,3,2) -> 3通り

(3,4,1) -> 6通り

(4,1,3) -> 6通り

(4,2,2) -> 3通り

(4,3,1) -> 6通り

(5,1,2) -> 6通り

(5,2,1) -> 6通り

(6,1,1) -> 3通り

3+6+6+6+6+3+6+3+3+3+6+6+3+3+6+6+3+6+6+6+3 = 36

(2)

1から4までの箱に1から4までのボールを入れる。どの箱も番号とボールの番号が一致しない入れ方を求める(完全順列)。

箱1にボール2を入れる場合:

- 箱2にボール1を入れる場合: 箱3,4にボール3,4は入れられないので、箱3にボール4、箱4にボール3が入るしかない (1通り)

- 箱2にボール3を入れる場合: 箱3にボール1は入れられないので、箱3にボール4が入る。すると箱4にはボール1が入るしかない。(1通り)

- 箱2にボール4を入れる場合: 箱4にボール1は入れられないので、箱4にボール3が入る。すると箱3にはボール1が入るしかない。(1通り)

箱1にボール3を入れる場合:

- 箱3にボール1を入れる場合: 箱2,4にボール2,4は入れられないので、箱2にボール4、箱4にボール2が入るしかない (1通り)

- 箱3にボール2を入れる場合: 箱2にボール1は入れられないので、箱2にボール4が入る。すると箱4にはボール1が入るしかない。(1通り)

- 箱3にボール4を入れる場合: 箱4にボール1は入れられないので、箱4にボール2が入る。すると箱2にはボール1が入るしかない。(1通り)

箱1にボール4を入れる場合:

- 箱4にボール1を入れる場合: 箱2,3にボール2,3は入れられないので、箱2にボール3、箱3にボール2が入るしかない (1通り)

- 箱4にボール2を入れる場合: 箱2にボール1は入れられないので、箱2にボール3が入る。すると箱3にはボール1が入るしかない。(1通り)

- 箱4にボール3を入れる場合: 箱3にボール1は入れられないので、箱3にボール2が入る。すると箱2にはボール1が入るしかない。(1通り)

上記より、全部で3+3+3 = 9通り

または、完全順列の公式を用いる。4の完全順列は

$!4 = 4!(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 24(\frac{12 - 4 + 1}{24}) = 9$

3. 最終的な答え

(1) 36通り

(2) 9通り