3個のサイコロを同時に投げ、出た目のうちの最大値を $x$ とするとき、$x \times 1000$ 円の賞金が得られる。このときの賞金の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げ、出た目のうちの最大値を $x$ とするとき、$x \times 1000$ 円の賞金が得られる。このときの賞金の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、3個のサイコロを投げたときの出目の最大値が $k$ $(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ となる確率を求めます。

最大値が $k$ であるとは、3つのサイコロの目がすべて $k$ 以下であり、少なくとも1つは $k$ であることを意味します。

3つのサイコロの目がすべて $k$ 以下である確率は $(\frac{k}{6})^3$ です。

3つのサイコロの目がすべて $k-1$ 以下である確率は $(\frac{k-1}{6})^3$ です。

したがって、最大値が $k$ である確率は、$(\frac{k}{6})^3 - (\frac{k-1}{6})^3$ となります。

最大値が $k$ であるときの賞金は $1000k$ 円なので、期待値 $E$ は次のように計算できます。

$E = \sum_{k=1}^6 1000k \left[ \left( \frac{k}{6} \right)^3 - \left( \frac{k-1}{6} \right)^3 \right]$

$= \frac{1000}{6^3} \sum_{k=1}^6 k[k^3 - (k-1)^3]$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 k[k^3 - (k^3 - 3k^2 + 3k - 1)]$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 k(3k^2 - 3k + 1)$

$= \frac{1000}{216} \sum_{k=1}^6 (3k^3 - 3k^2 + k)$

$= \frac{1000}{216} \left[ 3 \sum_{k=1}^6 k^3 - 3 \sum_{k=1}^6 k^2 + \sum_{k=1}^6 k \right]$

ここで、以下の公式を使います。

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$

$n = 6$ を代入すると

$\sum_{k=1}^6 k = \frac{6 \times 7}{2} = 21$

$\sum_{k=1}^6 k^2 = \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 91$

$\sum_{k=1}^6 k^3 = \left( \frac{6 \times 7}{2} \right)^2 = 21^2 = 441$

よって、

$E = \frac{1000}{216} [3 \times 441 - 3 \times 91 + 21] = \frac{1000}{216} [1323 - 273 + 21] = \frac{1000}{216} \times 1071 = \frac{1071000}{216} = \frac{178500}{36} = \frac{89250}{18} = \frac{44625}{9} = 4958.333...$

3. 最終的な答え

4958.333...円。約4958円。