与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $ \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}} $ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。与えられた分数は $\frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母を $A - B$ の形にするために $2+\sqrt{3}$ を一つの項と見なします。

つまり、$A = 2+\sqrt{3}$, $B = \sqrt{7}$ とします。

分母を有理化するには、分母と分子に $A + B$ をかけます。

$\frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{7}} = \frac{1}{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}}$

分母と分子に $(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{1}{(2+\sqrt{3})-\sqrt{7}} \times \frac{(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})+\sqrt{7}} = \frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{(2+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2}$

$(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

よって、

$\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{7+4\sqrt{3} - 7} = \frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4\sqrt{3}}$

次に、分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3}+\sqrt{7})\sqrt{3}}{4 \times 3} = \frac{2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{21}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 + 2\sqrt{3} + \sqrt{21}}{12}$