問題は2つの分数式の分母を有理化することです。 (13) $\frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}$ (14) $\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

問題は2つの分数式の分母を有理化することです。

(13) $\frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}}$

(14) $\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(13)

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $3 - \sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{3-\sqrt{7}}{3+\sqrt{7}} = \frac{(3-\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}$

分子を展開します。

$(3-\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3*3 - 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + \sqrt{7}*\sqrt{7} = 9 - 6\sqrt{7} + 7 = 16 - 6\sqrt{7}$

分母を展開します。

$(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3*3 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - \sqrt{7}*\sqrt{7} = 9 - 7 = 2$

したがって、

$\frac{(3-\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{16 - 6\sqrt{7}}{2} = 8 - 3\sqrt{7}$

(14)

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $2 + \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}$

分子を展開します。

$(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5}) = 2*2 + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + \sqrt{5}*\sqrt{5} = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

分母を展開します。

$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}) = 2*2 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - \sqrt{5}*\sqrt{5} = 4 - 5 = -1$

したがって、

$\frac{(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{-1} = -9 - 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(13) $8 - 3\sqrt{7}$

(14) $-9 - 4\sqrt{5}$