問題 2.4 は、与えられた関数を $n=4$ のときの有限マクローリン展開で表す問題です。ここでは、(1) $\sin x$、(2) $\sqrt{1+x}$、(3) $x \sin x$、(4) $\frac{x}{1+x}$ の4つの関数について、有限マクローリン展開を求めます。

## 問題 2.4 の解答

1. 問題の内容

問題 2.4 は、与えられた関数を $n=4$ のときの有限マクローリン展開で表す問題です。ここでは、(1) $\sin x$、(2) $\sqrt{1+x}$、(3) $x \sin x$、(4) $\frac{x}{1+x}$ の4つの関数について、有限マクローリン展開を求めます。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したもので、次の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + ...$

$n=4$ のとき、マクローリン展開は次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4$

各関数について、必要な階数までの導関数を計算し、$x=0$ における値を求め、上記の式に代入します。

(1) $f(x) = \sin x$

$f'(x) = \cos x$

$f''(x) = -\sin x$

$f'''(x) = -\cos x$

$f^{(4)}(x) = \sin x$

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(0) = -\cos 0 = -1$

$f^{(4)}(0) = \sin 0 = 0$

$\sin x \approx 0 + 1x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 = x - \frac{x^3}{6}$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}(1+0)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}(1+0)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}$

$f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}(1+0)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}$

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2 + \frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3 + \frac{-\frac{15}{16}}{4!}x^4 = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

(3) $f(x) = x \sin x$

$\sin x$のマクローリン展開の結果を利用します。

$x\sin x \approx x(x - \frac{x^3}{6}) = x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

$f(x) = x(1+x)^{-1}$

$f'(x) = (1+x)^{-1} - x(1+x)^{-2}$

$f''(x) = -2(1+x)^{-2} + 2x(1+x)^{-3}$

$f'''(x) = 6(1+x)^{-3} - 6x(1+x)^{-4}$

$f^{(4)}(x) = -24(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5}$

$f(0) = 0$

$f'(0) = 1$

$f''(0) = -2$

$f'''(0) = 6$

$f^{(4)}(0) = -24$

$\frac{x}{1+x} \approx 0 + x + \frac{-2}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + \frac{-24}{24}x^4 = x - x^2 + x^3 - x^4$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

(3) $x \sin x \approx x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $\frac{x}{1+x} \approx x - x^2 + x^3 - x^4$