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$\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin \theta \cos \theta$ (2) $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$

解析学三角関数相互関係恒等式因数分解
2025/6/14

1. 問題の内容

sin⁡θ−cos⁡θ=13\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3} のとき、以下の値を求めよ。
(1) sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta
(2) sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3 \theta - \cos^3 \theta

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ−cos⁡θ=13\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3} の両辺を2乗すると、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=(13)2(\sin \theta - \cos \theta)^2 = (\frac{1}{3})^2
sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=19\sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{9}
sin⁡2θ+cos⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ=19\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}
三角関数の相互関係より sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 であるから、
1−2sin⁡θcos⁡θ=191 - 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9}
2sin⁡θcos⁡θ=1−19=892 \sin \theta \cos \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
sin⁡θcos⁡θ=49\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}
(2) sin⁡3θ−cos⁡3θ\sin^3 \theta - \cos^3 \theta を因数分解すると、
sin⁡3θ−cos⁡3θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ)\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)
=(sin⁡θ−cos⁡θ)(sin⁡2θ+cos⁡2θ+sin⁡θcos⁡θ)= (\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta)
=(sin⁡θ−cos⁡θ)(1+sin⁡θcos⁡θ)= (\sin \theta - \cos \theta)(1 + \sin \theta \cos \theta)
sin⁡θ−cos⁡θ=13\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{3} および sin⁡θcos⁡θ=49\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9} を代入すると、
sin⁡3θ−cos⁡3θ=(13)(1+49)\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = (\frac{1}{3})(1 + \frac{4}{9})
=(13)(99+49)= (\frac{1}{3})(\frac{9}{9} + \frac{4}{9})
=(13)(139)= (\frac{1}{3})(\frac{13}{9})
=1327= \frac{13}{27}

3. 最終的な答え

(1) sin⁡θcos⁡θ=49\sin \theta \cos \theta = \frac{4}{9}
(2) sin⁡3θ−cos⁡3θ=1327\sin^3 \theta - \cos^3 \theta = \frac{13}{27}

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