与えられた関数を微分する問題です。 18(1): $y = \sin x - \cos x$ 18(2): $y = \sin x \tan x$ 19(1): $y = \sin(2x + 3)$ 19(2): $y = \cos(2 - 3x)$ 19(3): $y = \tan 2x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

18(1): $y = \sin x - \cos x$

18(2): $y = \sin x \tan x$

19(1): $y = \sin(2x + 3)$

19(2): $y = \cos(2 - 3x)$

19(3): $y = \tan 2x$

2. 解き方の手順

18(1): $y = \sin x - \cos x$ の微分

$\sin x$ の微分は $\cos x$ であり、$\cos x$ の微分は $-\sin x$ であることを利用します。

$y' = \frac{d}{dx}(\sin x - \cos x) = \frac{d}{dx}(\sin x) - \frac{d}{dx}(\cos x) = \cos x - (-\sin x)$

18(2): $y = \sin x \tan x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。$u = \sin x$, $v = \tan x$ とすると、$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$ であり、$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$ です。

$y' = \frac{d}{dx} (\sin x \tan x) = (\sin x)' \tan x + \sin x (\tan x)' = \cos x \tan x + \sin x \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

19(1): $y = \sin(2x + 3)$ の微分

合成関数の微分公式 $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ を利用します。

$y' = \frac{d}{dx} (\sin(2x + 3)) = \cos(2x + 3) \cdot \frac{d}{dx}(2x + 3) = \cos(2x + 3) \cdot 2$

19(2): $y = \cos(2 - 3x)$ の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$y' = \frac{d}{dx} (\cos(2 - 3x)) = -\sin(2 - 3x) \cdot \frac{d}{dx}(2 - 3x) = -\sin(2 - 3x) \cdot (-3)$

19(3): $y = \tan 2x$ の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$y' = \frac{d}{dx} (\tan 2x) = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2$

3. 最終的な答え

18(1): $y' = \cos x + \sin x$

18(2): $y' = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

19(1): $y' = 2\cos(2x + 3)$

19(2): $y' = 3\sin(2 - 3x)$

19(3): $y' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$