与えられた問題は、いくつかの関数の極限値を求める問題と、与えられた関数について平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の問題があります。 4. 次の極限値を求めよ。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x+1}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2+2x-1}$ (3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{x^2+x+1}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{x}$ 5. 次の極限値を求めよ。 (1) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$ (3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$ (4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$ 6. 次の値を求めよ。 (1) 関数 $y = 2x^2$ の 1 から 4 までの平均変化率 (2) 関数 $y = 2x^2$ の $a$ から $b$ までの平均変化率 (3) 関数 $y = 2x$ の $a$ から $b$ までの平均変化率

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、いくつかの関数の極限値を求める問題と、与えられた関数について平均変化率を求める問題です。具体的には、以下の問題があります。

4. 次の極限値を求めよ。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x+1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2+2x-1}$

(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{x^2+x+1}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{x}$

5. 次の極限値を求めよ。

(1) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x)$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x)$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x)$

(4) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x)$

6. 次の値を求めよ。

(1) 関数 $y = 2x^2$ の 1 から 4 までの平均変化率

(2) 関数 $y = 2x^2$ の $a$ から $b$ までの平均変化率

(3) 関数 $y = 2x$ の $a$ から $b$ までの平均変化率

2. 解き方の手順

4. 極限値を求める問題

(1) 分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x+1}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{4+\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}} = \frac{4}{2} = 2$

(2) 分母と分子を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2+2x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ と $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2$

(3) 分母と分子を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{x^2+x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$ と $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$

(4) $\sqrt{x^2} = |x|$ で、$x \to \infty$ なので、$x>0$ とみなせて、$|x|=x$ です。分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2x^2+3}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}}{1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x^2} \to 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{2+\frac{3}{x^2}}}{1} = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$

5. 極限値を求める問題

(1) 分母を有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3}-x)(\sqrt{x^2+3}+x)}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3)-x^2}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x}$

分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{x^2+3}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{\sqrt{1+\frac{3}{x^2}}+1} = \frac{0}{\sqrt{1}+1} = \frac{0}{2} = 0$

(2) 分母を有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-1}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-1}-x)(\sqrt{x^2-1}+x)}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2-1)-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x}$

分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+1} = \frac{0}{\sqrt{1}+1} = \frac{0}{2} = 0$

(3) 分母を有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+3x}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$

分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{\sqrt{1}+1} = \frac{3}{2}$

(4) 分母を有理化します。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2-x}-x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2-x}-x)(\sqrt{x^2-x}+x)}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2-x)-x^2}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x}$

分母と分子を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{\sqrt{x^2-x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1} = \frac{-1}{\sqrt{1}+1} = -\frac{1}{2}$

6. 平均変化率を求める問題

(1) 平均変化率は $\frac{f(4)-f(1)}{4-1}$ で計算できます。$f(x) = 2x^2$ なので、$f(4) = 2(4^2) = 32$、$f(1) = 2(1^2) = 2$。したがって、平均変化率は $\frac{32-2}{4-1} = \frac{30}{3} = 10$。

(2) 平均変化率は $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で計算できます。$f(x) = 2x^2$ なので、$f(b) = 2b^2$、$f(a) = 2a^2$。したがって、平均変化率は $\frac{2b^2-2a^2}{b-a} = \frac{2(b^2-a^2)}{b-a} = \frac{2(b-a)(b+a)}{b-a} = 2(a+b)$。

(3) 平均変化率は $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で計算できます。$f(x) = 2x$ なので、$f(b) = 2b$、$f(a) = 2a$。したがって、平均変化率は $\frac{2b-2a}{b-a} = \frac{2(b-a)}{b-a} = 2$。

3. 最終的な答え

4. (1) 2

(2) 2

(3) 0

(4) $\sqrt{2}$

5. (1) 0

(2) 0

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $-\frac{1}{2}$

6. (1) 10

(2) $2(a+b)$

(3) 2