与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $f(x) = 3^{-x^2}$ (2) $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ ($x > 0$) (3) $f(x) = \arctan(x-1)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $f(x) = 3^{-x^2}$

(2) $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ ($x > 0$)

(3) $f(x) = \arctan(x-1)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3^{-x^2}$ の導関数を求めます。

まず、合成関数の微分を使います。

$y = a^u$ の導関数は $\frac{dy}{dx} = a^u \ln(a) \frac{du}{dx}$ です。

この場合、$a = 3$、$u = -x^2$ です。

$\frac{du}{dx} = -2x$ なので、

$f'(x) = 3^{-x^2} \ln(3) (-2x) = -2x \ln(3) 3^{-x^2}$

(2) $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ ($x > 0$) の導関数を求めます。

対数微分法を使います。

$y = (1 + \frac{1}{x})^x$

両辺の自然対数をとると、

$\ln(y) = x \ln(1 + \frac{1}{x})$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(1 + \frac{1}{x}) + x \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(1 + \frac{1}{x}) + x \frac{x}{x+1} (-\frac{1}{x^2})$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1})$

$f'(x) = (1 + \frac{1}{x})^x (\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1})$

(3) $f(x) = \arctan(x-1)$ の導関数を求めます。

合成関数の微分を使います。

$y = \arctan(u)$ の導関数は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \frac{du}{dx}$ です。

この場合、$u = x-1$ です。

$\frac{du}{dx} = 1$ なので、

$f'(x) = \frac{1}{1 + (x-1)^2} (1) = \frac{1}{1 + x^2 - 2x + 1} = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -2x \ln(3) 3^{-x^2}$

(2) $f'(x) = (1 + \frac{1}{x})^x (\ln(1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1})$

(3) $f'(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 2}$