定数 $a$ を用いた関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ が、定義域 $0 \le x \le 2$ で与えられています。この関数の最小値と最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ を用いた関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ が、定義域 $0 \le x \le 2$ で与えられています。この関数の最小値と最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 3x^2 - 6ax + 2 \\

&= 3(x^2 - 2ax) + 2 \\

&= 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2 \\

&= 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2

\end{align*}

したがって、軸は $x = a$ です。

(1) 最小値を求める場合

軸の位置 $x = a$ が定義域 $0 \le x \le 2$ のどこにあるかで場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が増加すると $y$ も増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。最小値は $y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$ です。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

頂点が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。最小値は $y = -3a^2 + 2$ です。

(iii) $a > 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le 2$ において、$x$ が増加すると $y$ は減少するので、$x = 2$ で最小値をとります。最小値は $y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$ です。

(2) 最大値を求める場合

軸の位置 $x = a$ と定義域の中央の値 $x = 1$ の位置関係で場合分けします。

(i) $a \le 1$ のとき

$x = 2$ で最大値をとります。最大値は $y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 14 - 12a$ です。

(ii) $a > 1$ のとき

$x = 0$ で最大値をとります。最大値は $y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* $a < 0$ のとき、最小値は $2$

* $0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

* $a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$

(2) 最大値

* $a \le 1$ のとき、最大値は $14 - 12a$

* $a > 1$ のとき、最大値は $2$