与えられた積分 $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

与えられた積分を2つの積分に分割します。

$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx = \int 4 \sec 2x dx - \int 2 \csc \frac{x}{3} dx$

定数を積分の外に出します。

$= 4 \int \sec 2x dx - 2 \int \csc \frac{x}{3} dx$

$\int \sec ax dx = \frac{1}{a} \ln |\sec ax + \tan ax| + C$

$\int \csc ax dx = -\frac{1}{a} \ln |\csc ax + \cot ax| + C$

$\int \sec 2x dx = \frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C_1$

$\int \csc \frac{x}{3} dx = -3 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C_2$

したがって、

$4 \int \sec 2x dx = 4 (\frac{1}{2} \ln |\sec 2x + \tan 2x|) + C_3 = 2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + C_3$

$-2 \int \csc \frac{x}{3} dx = -2 (-3 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}|) + C_4 = 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C_4$

よって、

$\int (4 \sec 2x - 2 \csc \frac{x}{3}) dx = 2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$

3. 最終的な答え

$2 \ln |\sec 2x + \tan 2x| + 6 \ln |\csc \frac{x}{3} + \cot \frac{x}{3}| + C$