与えられた行列Aに対して、正則行列かどうかを判定し、正則行列であれば逆行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列Aに対して、正則行列かどうかを判定し、正則行列であれば逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(i) $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

まず、行列式を計算する。

$det(A) = (1)(7) - (5)(3) = 7 - 15 = -8$

行列式が0でないので、正則行列である。逆行列を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} 7 & -5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/8 & 5/8 \\ 3/8 & -1/8 \end{pmatrix}$

(ii) $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = -1(2-3) - 1(1+1) + 2(3+2) = 1 - 2 + 10 = 9$

正則行列である。逆行列を求める。

余因子行列を計算する。

$C_{11} = 2-3 = -1$

$C_{12} = -(1+1) = -2$

$C_{13} = 3+2 = 5$

$C_{21} = -(1-6) = 5$

$C_{22} = -1+2 = 1$

$C_{23} = -(-3+1) = 2$

$C_{31} = 1-4 = -3$

$C_{32} = -( -1-2 ) = 3$

$C_{33} = -2-1 = -3$

$C = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 5 \\ 5 & 1 & 2 \\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -2 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/9 & 5/9 & -1/3 \\ -2/9 & 1/9 & 1/3 \\ 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix}$

(iii) $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 0 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(-2-0) -3(4-0) -2(-4-3) = -2 -12 +14 = 0$

正則行列ではない。

(iv) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(2+3) - 2(4-6) + 2(-2-2) = 5 + 4 - 8 = 1$

正則行列である。逆行列を求める。

余因子行列を計算する。

$C_{11} = 2+3 = 5$

$C_{12} = -(4-6) = 2$

$C_{13} = -2-2 = -4$

$C_{21} = -(4+2) = -6$

$C_{22} = 2-4 = -2$

$C_{23} = -(-1-4) = 5$

$C_{31} = 6-2 = 4$

$C_{32} = -(3-4) = 1$

$C_{33} = 1-4 = -3$

$C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -4 \\ -6 & -2 & 5 \\ 4 & 1 & -3 \end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

(v) $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(1-0) = 1$

正則行列である。逆行列を求める。

$\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y & z \\ u & v & w \\ p & q & r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$p = 0, q = 0, r = 1$

$u=0, v=1, w=-c$

$x=1, y=-a, z = ac-b$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(vi) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$det(A) = 1(24-25) - 2(12-15) + 3(10-12) = -1 + 6 - 6 = -1$

正則行列である。逆行列を求める。

余因子行列を計算する。

$C_{11} = 24-25 = -1$

$C_{12} = -(12-15) = 3$

$C_{13} = 10-12 = -2$

$C_{21} = -(12-15) = 3$

$C_{22} = 6-9 = -3$

$C_{23} = -(5-6) = 1$

$C_{31} = 10-12 = -2$

$C_{32} = -(5-6) = 1$

$C_{33} = 4-4 = 0$

$C = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) 正則行列、逆行列: $\begin{pmatrix} -7/8 & 5/8 \\ 3/8 & -1/8 \end{pmatrix}$

(ii) 正則行列、逆行列: $\begin{pmatrix} -1/9 & 5/9 & -1/3 \\ -2/9 & 1/9 & 1/3 \\ 5/9 & 2/9 & -1/3 \end{pmatrix}$

(iii) 正則行列ではない。

(iv) 正則行列、逆行列: $\begin{pmatrix} 5 & -6 & 4 \\ 2 & -2 & 1 \\ -4 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

(v) 正則行列、逆行列: $\begin{pmatrix} 1 & -a & ac-b \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(vi) 正則行列、逆行列: $\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -3 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$