原子間結合ポテンシャルエネルギー $U(r) = -\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n}$ が与えられています。ここで、$m=1$, $n=6$, $A=8.0 \times 10^{-19} \text{ J}\cdot\text{m}$, $B=4.27 \times 10^{-68} \text{ J}\cdot\text{m}^6$ です。結合が安定する原子間距離 $r_0$ を求める問題です。

1. 問題の内容

原子間結合ポテンシャルエネルギー $U(r) = -\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n}$ が与えられています。ここで、$m=1$, $n=6$, $A=8.0 \times 10^{-19} \text{ J}\cdot\text{m}$, $B=4.27 \times 10^{-68} \text{ J}\cdot\text{m}^6$ です。結合が安定する原子間距離 $r_0$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

結合が安定する原子間距離 $r_0$ は、ポテンシャルエネルギー $U(r)$ が最小になる点です。つまり、$\frac{dU}{dr} = 0$ となる $r$ を求めます。

まず、$U(r)$ を $r$ で微分します。

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\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr} \left( -\frac{A}{r^m} + \frac{B}{r^n} \right) = \frac{d}{dr} \left( -Ar^{-m} + Br^{-n} \right)

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\frac{dU}{dr} = mAr^{-m-1} - nBr^{-n-1}

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与えられた条件 $m=1$ および $n=6$ を代入すると、

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\frac{dU}{dr} = Ar^{-2} - 6Br^{-7}

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$\frac{dU}{dr} = 0$ となる $r = r_0$ を求めます。

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Ar_0^{-2} - 6Br_0^{-7} = 0

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Ar_0^{-2} = 6Br_0^{-7}

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A = 6Br_0^{-5}

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r_0^5 = \frac{6B}{A}

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r_0 = \left( \frac{6B}{A} \right)^{1/5}

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$A$ と $B$ の値を代入します。

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r_0 = \left( \frac{6 \times 4.27 \times 10^{-68} \text{ J}\cdot\text{m}^6}{8.0 \times 10^{-19} \text{ J}\cdot\text{m}} \right)^{1/5}

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r_0 = \left( \frac{25.62 \times 10^{-68}}{8.0 \times 10^{-19}} \text{ m}^5 \right)^{1/5}

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r_0 = \left( 3.2025 \times 10^{-49} \text{ m}^5 \right)^{1/5}

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r_0 = (3.2025)^{1/5} \times (10^{-49})^{1/5} \text{ m}

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r_0 = (3.2025)^{1/5} \times 10^{-49/5} \text{ m}

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r_0 \approx 1.252 \times 10^{-9.8} \text{ m} \approx 1.252 \times 10^{-10} \times 10^{0.2} \text{ m}

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r_0 \approx 1.252 \times 10^{-10} \times 1.585 \text{ m} \approx 1.98 \times 10^{-10} \text{ m}

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r_0 \approx 0.198 \times 10^{-9} \text{ m} \approx 0.2 \text{ nm}

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3. 最終的な答え

0. 20 nm