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定積分 $\int_{-1}^{1} x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算します。

解析学定積分奇関数積分
2025/6/12

1. 問題の内容

定積分 ∫−11x31−x2 dx\int_{-1}^{1} x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx を計算します。

2. 解き方の手順

被積分関数 f(x)=x31−x2f(x) = x^3 \sqrt{1-x^2} の偶奇性を調べます。
f(−x)=(−x)31−(−x)2=−x31−x2=−f(x)f(-x) = (-x)^3 \sqrt{1-(-x)^2} = -x^3 \sqrt{1-x^2} = -f(x) であるため、f(x)f(x) は奇関数です。
奇関数を対称な区間 [−a,a][-a, a] で積分すると 0 になるという性質を利用します。
すなわち、
∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 (ただし、f(x)f(x) は奇関数)
この問題では、a=1a=1 であり、f(x)f(x) は奇関数なので、
∫−11x31−x2 dx=0\int_{-1}^{1} x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx = 0 となります。

3. 最終的な答え

∫−11x31−x2 dx=0\int_{-1}^{1} x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx = 0

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