定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin^2 x$ の積分を計算するために、倍角の公式 $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を利用します。

この公式から $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx = \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x dx$

$\int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin 2\pi}{2} - \frac{\sin (-2\pi)}{2} = 0 - 0 = 0$

よって、

$\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$