定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{x^2+1}$ の積分は $\arctan x$ であることを利用します。

まず、不定積分を計算します。

$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan x]_{0}^{\sqrt{3}}$

$= \arctan(\sqrt{3}) - \arctan(0)$

$\arctan(\sqrt{3})$ は、$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ の値です。

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

$\arctan(0) = 0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1} = \frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$