与えられた3変数の連立一次方程式について、以下の問いに答える問題です。 (1) 拡大係数行列を求める。 (2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。 (3) 解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める。
2025/6/12
1. 問題の内容
与えられた3変数の連立一次方程式について、以下の問いに答える問題です。
(1) 拡大係数行列を求める。
(2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。
(3) 解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める。
2. 解き方の手順
(1) 拡大係数行列を求める。
与えられた連立一次方程式は以下の通りです。
\begin{cases}
x_1 - 2x_2 - x_3 = -1 \\
-x_1 + x_2 + x_3 = -1 \\
-x_1 + x_2 + x_3 = -1
\end{cases}
この連立一次方程式の拡大係数行列は次のようになります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1
\end{array}
\right]
(2) 拡大係数行列を簡約行列に変形する。
拡大係数行列を簡約化するために、行基本変形を行います。
まず、2行目に1行目を加えます。また、3行目に1行目を加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -2 \\
0 & -1 & 0 & -2
\end{array}
\right]
次に、2行目に-1をかけます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 0 & -2
\end{array}
\right]
次に、1行目に2行目の2倍を加えます。また、3行目に2行目を加えます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
これが簡約行列です。
(3) 解の有無を判定し、解が存在する場合は解を求める。
簡約行列から、以下の連立方程式が得られます。
\begin{cases}
x_1 - x_3 = 3 \\
x_2 = 2
\end{cases}
（パラメータ）とおくと、
となります。
3. 最終的な答え
(1) 拡大係数行列:
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1 \\
-1 & 1 & 1 & -1
\end{array}
\right]
(2) 簡約行列:
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
(3) 解の有無: 解が存在する
解:
\begin{cases}
x_1 = 3 + s \\
x_2 = 2 \\
x_3 = s
\end{cases}