与えられた4つの式を因数分解します。 (1) $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$ (3) $x^3y - 10x^2y^2 - 56xy^3$ (5) $a^2(a-b) + 9b^2(b-a)$ (7) $9x^2 + 6xy + y^2 - 25$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を因数分解します。

(1) $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$

(3) $x^3y - 10x^2y^2 - 56xy^3$

(5) $a^2(a-b) + 9b^2(b-a)$

(7) $9x^2 + 6xy + y^2 - 25$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$

これは完全平方式です。

$\frac{1}{4}x^2 = (\frac{1}{2}x)^2$

$1 = 1^2$

$x = 2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1$

したがって、

$\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = (\frac{1}{2}x + 1)^2$

(3) $x^3y - 10x^2y^2 - 56xy^3$

まず、$xy$をくくりだします。

$xy(x^2 - 10xy - 56y^2)$

次に、$x^2 - 10xy - 56y^2$を因数分解します。

掛けて$-56y^2$、足して$-10y$になる2つの数は$-14y$と$4y$です。

したがって、

$x^2 - 10xy - 56y^2 = (x - 14y)(x + 4y)$

よって、

$x^3y - 10x^2y^2 - 56xy^3 = xy(x - 14y)(x + 4y)$

(5) $a^2(a-b) + 9b^2(b-a)$

$b-a = -(a-b)$なので、

$a^2(a-b) - 9b^2(a-b) = (a-b)(a^2 - 9b^2)$

$a^2 - 9b^2$は差の二乗なので、

$a^2 - 9b^2 = (a - 3b)(a + 3b)$

したがって、

$a^2(a-b) + 9b^2(b-a) = (a-b)(a - 3b)(a + 3b)$

(7) $9x^2 + 6xy + y^2 - 25$

$9x^2 + 6xy + y^2 = (3x + y)^2$

したがって、

$(3x + y)^2 - 25 = (3x + y)^2 - 5^2$

これは差の二乗なので、

$(3x + y)^2 - 5^2 = (3x + y - 5)(3x + y + 5)$

したがって、

$9x^2 + 6xy + y^2 - 25 = (3x + y - 5)(3x + y + 5)$

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{1}{2}x + 1)^2$

(3) $xy(x - 14y)(x + 4y)$

(5) $(a-b)(a - 3b)(a + 3b)$

(7) $(3x + y - 5)(3x + y + 5)$