与えられた画像には、数列の極限を求める問題や漸化式で定義された数列の極限を求める問題、そして数列の一般項に関連する問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。 1. 次の極限を求めよ。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4 - 5n^3}{(1-2n)(2-3n)(3-4n)}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^3 + 2n + 1} - n\sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+3}}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4n} \sin \frac{n\pi}{4n} \cos \frac{\pi}{4n}$ (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 2(-3)^n + 3 \cdot 5^n}{3^n - 5^n}$

1. 問題の内容

与えられた画像には、数列の極限を求める問題や漸化式で定義された数列の極限を求める問題、そして数列の一般項に関連する問題が含まれています。具体的には、以下の問題があります。

1. 次の極限を求めよ。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4 - 5n^3}{(1-2n)(2-3n)(3-4n)}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^3 + 2n + 1} - n\sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+3}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{\pi}{4n} \sin \frac{n\pi}{4n} \cos \frac{\pi}{4n}$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 2(-3)^n + 3 \cdot 5^n}{3^n - 5^n}$

2. 次の漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ について、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

(1) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = -\frac{a_n}{2} + 2$

(2) $a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_{n+1} = -a_n + 1$

(3) $a_1 = 3, \quad a_{n+1} = \frac{a_n}{1 - 2a_n}$

(4) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = \frac{2a_n}{1 + a_n}$

3. $a_1 = 0, \quad a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{5 - 3a_n}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について

(1) $b_n = \frac{a_n + 1}{a_n - 1}$ とおくとき、$b_{n+1}$ と $b_n$ の関係式を求めよ。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4 - 5n^3}{(1-2n)(2-3n)(3-4n)}$

分子は $n^4$ で、分母の最高次の項は $(-2n)(-3n)(-4n) = -24n^3$ となる。分子分母を $n^3$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n - 5}{\frac{1}{n^2}(1-2n)(2-3n)(3-4n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 5}{(1-2n/n)(2-3n/n)(3-4n/n)} = -\infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^3 + 2n + 1} - n\sqrt{n}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n+3}}$

分子は$\sqrt{n^3 + 2n + 1} - n\sqrt{n} = \sqrt{n^3+2n+1}-\sqrt{n^3} = \frac{2n+1}{\sqrt{n^3+2n+1}+\sqrt{n^3}}$

分母は$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+3} = \frac{-1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n+1}{\sqrt{n^3+2n+1}+\sqrt{n^3}}}{\frac{-1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+3})}{-(\sqrt{n^3+2n+1}+\sqrt{n^3})} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{2n(2\sqrt{n})}{-2\sqrt{n^3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^{3/2}}{-2n^{3/2}} = -2$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 2(-3)^n + 3 \cdot 5^n}{3^n - 5^n}$

分子分母を $5^n$ で割ると

$\lim_{n \to \infty} \frac{(2/5)^n + 2(-3/5)^n + 3}{(3/5)^n - 1} = \frac{0 + 0 + 3}{0 - 1} = -3$

(2) (1) $a_{n+1} = -\frac{a_n}{2} + 2$

$a_n \to \alpha$ とすると $\alpha = -\frac{\alpha}{2} + 2$ より、$\frac{3}{2} \alpha = 2$ となり、$\alpha = \frac{4}{3}$

(2) $a_{n+1} = -a_n + 1$

$a_n \to \alpha$ とすると $\alpha = -\alpha + 1$ より、 $2\alpha = 1$ となり、$\alpha = \frac{1}{2}$

(4) $a_{n+1} = \frac{2a_n}{1+a_n}$

$a_n \to \alpha$ とすると $\alpha = \frac{2\alpha}{1+\alpha}$ より $\alpha(1+\alpha)=2\alpha$

$\alpha + \alpha^2 = 2\alpha$

$\alpha^2 - \alpha = 0$

$\alpha(\alpha - 1) = 0$

$\alpha = 0, 1$

与えられた数列の極限は1となる

(3) (1) $b_{n+1} = \frac{a_{n+1} + 1}{a_{n+1} - 1}$

$a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{5 - 3a_n}$ より

$b_{n+1} = \frac{\frac{a_n + 1}{5 - 3a_n} + 1}{\frac{a_n + 1}{5 - 3a_n} - 1} = \frac{(a_n + 1) + (5 - 3a_n)}{(a_n + 1) - (5 - 3a_n)} = \frac{-2a_n + 6}{4a_n - 4} = \frac{-a_n + 3}{2a_n - 2}$

3. 最終的な答え

1. (1) 発散

(2) -2

(4) -3

2. (1) 4/3

(2) 1/2

(4) 1

3. (1) $b_{n+1} = \frac{-a_n + 3}{2a_n - 2}$