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$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2{x} dx$ を計算します。

解析学積分三角関数定積分
2025/6/12

1. 問題の内容

∫0π4tan⁡2xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2{x} dx を計算します。

2. 解き方の手順

tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2{x} = \sec^2{x} - 1 の恒等式を利用して積分を計算します。
∫tan⁡2xdx=∫(sec⁡2x−1)dx\int \tan^2{x} dx = \int (\sec^2{x} - 1) dx
∫sec⁡2xdx=tan⁡x\int \sec^2{x} dx = \tan{x} 、∫1dx=x\int 1 dx = x であるから
∫(sec⁡2x−1)dx=tan⁡x−x+C\int (\sec^2{x} - 1) dx = \tan{x} - x + C
したがって、
∫0π4tan⁡2xdx=[tan⁡x−x]0π4=(tan⁡π4−π4)−(tan⁡0−0)=(1−π4)−(0−0)=1−π4\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2{x} dx = [\tan{x} - x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\tan{\frac{\pi}{4}} - \frac{\pi}{4}) - (\tan{0} - 0) = (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}

3. 最終的な答え

1−π41 - \frac{\pi}{4}

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