与えられた三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積をそれぞれ計算します。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$ 図から、AB = 3, BC = 3, 角ABC = 90°であることが分かります。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、以下のベクトルの内積をそれぞれ計算します。

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

図から、AB = 3, BC = 3, 角ABC = 90°であることが分かります。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

まず、ACの長さを求めます。三平方の定理より、

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ のなす角を$\theta_1$とすると、$\cos{\theta_1} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\theta_1 = 45^\circ$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |AB| |AC| \cos{\theta_1} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 9$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{BC}$ のなす角は $90^\circ$ です。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |AB| |BC| \cos{90^\circ} = 3 \cdot 3 \cdot 0 = 0$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{BC}$ と $\overrightarrow{CA}$ のなす角を$\theta_3$とすると、$\cos(\angle ACB) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、$\angle ACB = 45^\circ$. $\overrightarrow{BC}$と$\overrightarrow{CA}$がなす角は、$180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = |BC| |CA| \cos{135^\circ} = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -9$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 9$

(2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(3) $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = -9$