定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ と書く代わりに、$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ という恒等式を利用します。これにより、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx$

$\sec^2 x$ の積分は $\tan x$ であり、1の積分は $x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) \, dx = [\tan x - x]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

次に、積分の上限と下限を代入します。

$[\tan x - x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}) - (\tan(0) - 0)$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ であり、$\tan(0) = 0$ であるため、

$(\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}) - (\tan(0) - 0) = (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{\pi}{4}$