関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。

## 問題81 (1)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(\sin x)$ のグラフ $y = f(x)$ 上の点 $(\frac{3\pi}{4}, f(\frac{3\pi}{4}))$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、接点の座標 $(x_0, y_0)$ と、その点における微分係数 $f'(x_0)$ を用いて、

$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$ で表される。

まず、$f(x) = \log(\sin x)$ を微分する。

$\log$の底が省略されているので、常用対数$\log_{10}$とみなして計算する。

$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \cdot \log_{10} e = \frac{\cos x}{\sin x} \log_{10} e = \cot x \log_{10} e$

次に、$x = \frac{3\pi}{4}$ における微分係数を求める。

$f'(\frac{3\pi}{4}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) \log_{10} e = -1 \cdot \log_{10} e = -\log_{10} e$

また、$f(\frac{3\pi}{4}) = \log(\sin \frac{3\pi}{4}) = \log(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \log(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \log 2$

よって、接点の座標は $(\frac{3\pi}{4}, -\frac{1}{2} \log 2)$ であり、その点における微分係数は $-\log_{10} e$ である。

接線の方程式は、

$y - (-\frac{1}{2} \log 2) = -\log_{10} e(x - \frac{3\pi}{4})$

$y + \frac{1}{2} \log 2 = -\log_{10} e(x - \frac{3\pi}{4})$

$y = -\log_{10} e \cdot x + \frac{3\pi}{4} \log_{10} e - \frac{1}{2} \log 2$

$\log$の底が自然対数$\log_{e}$の場合、計算は次の通りになる。

$f(x) = \log_e(\sin x)$

$f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$

$f'(\frac{3\pi}{4}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$

$f(\frac{3\pi}{4}) = \log_e(\sin \frac{3\pi}{4}) = \log_e(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \log_e(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2} \log_e 2$

接線の方程式は、

$y - (-\frac{1}{2} \log_e 2) = -1(x - \frac{3\pi}{4})$

$y + \frac{1}{2} \log_e 2 = -x + \frac{3\pi}{4}$

$y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2$

問題文に$\log$の底が明記されていないので、常用対数$\log_{10}$と自然対数$\log_{e}$の場合の両方を記載した。

3. 最終的な答え

常用対数$\log_{10}$の場合：$y = -\log_{10} e \cdot x + \frac{3\pi}{4} \log_{10} e - \frac{1}{2} \log 2$

自然対数$\log_{e}$の場合：$y = -x + \frac{3\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2$