(1) $a > 0$ かつ $n \geq 3$ である自然数 $n$ に対して、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明する。 (2) $r > 1$ のとき、極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $a > 0$ かつ $n \geq 3$ である自然数 $n$ に対して、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明する。

(2) $r > 1$ のとき、極限値 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

二項定理を用いる。$n \geq 3$のとき、

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k = 1 + na + \frac{n(n-1)}{2}a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^3 + \sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k} a^k$

$a > 0$ より、$\sum_{k=4}^{n} \binom{n}{k} a^k > 0$ なので、

$(1+a)^n > 1 + na + \frac{n(n-1)}{2}a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^3$

$1, na, \frac{n(n-1)}{2}a^2$ はいずれも正の数なので、

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^3$

よって、$(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$が成り立つ。

(2) 極限値の計算

$r = 1 + h$ とおく。ここで $h > 0$ である。

二項定理により、$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} h^k$

$n \geq 3$ のとき、$r^n > \binom{n}{3} h^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$ が成り立つ。

したがって、$0 < \frac{n^2}{r^n} < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n^2}{n(n^2-3n+2)h^3} = \frac{6n^2}{(n^3-3n^2+2n)h^3} = \frac{6}{(n-3+2/n)h^3}$.

$\lim_{n\to\infty} \frac{6}{(n-3+2/n)h^3} = 0$ なので、はさみうちの原理より、$\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ は成り立つ。

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$