この問題は、以下の2つの部分から構成されています。 (1) $a > 0$ かつ $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明すること。 (2) $r > 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めること。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

この問題は、以下の2つの部分から構成されています。

(1) $a > 0$ かつ $n \ge 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つことを証明すること。

(2) $r > 1$ のとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めること。

2. 解き方の手順

(1) 不等式の証明

二項定理を用いて $(1+a)^n$ を展開します。

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k = 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3 + \dots + a^n$

ここで、$a > 0$ より、すべての項 $\binom{n}{k}a^k$ は正であるため、$n \ge 3$ のとき、

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3$

したがって、与えられた不等式が成り立つことが証明されました。

(2) 極限の計算

$r > 1$ であるから、$r = 1+h$ ($h>0$) とおくことができます。二項定理より、$n \ge 3$ のとき

$r^n = (1+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} h^k > \binom{n}{3} h^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3$

したがって、

$0 < \frac{n^2}{r^n} < \frac{n^2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6} h^3} = \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2) h^3} = \frac{6n^2}{n(n^2 - 3n + 2) h^3} = \frac{6}{ (1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}) h^3}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$ かつ $\frac{2}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{6}{ (1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}) h^3} = \frac{6}{h^3}$

しかし、これは誤りです。正しくは、

$0 < \frac{n^2}{r^n} < \frac{6n^2}{n(n-1)(n-2)h^3} = \frac{6n^2}{n^3-3n^2+2n)h^3} = \frac{6/n}{(1-3/n+2/n^2)h^3}$

$n \to \infty$ のとき、分子 $6/n \to 0$ であり、分母は $h^3$ に近づくので、$0$ に収束します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ が成り立つ（証明終わり）。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$