(1) 関数 $f(x) = (1-4x)e^{x-2x^2}$ の極値を求める。 (2) 関数 $y = \sqrt[3]{x^2 + 10}$ のグラフの変曲点の座標をすべて求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = (1-4x)e^{x-2x^2}$ の極値を求める。

(2) 関数 $y = \sqrt[3]{x^2 + 10}$ のグラフの変曲点の座標をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = (1-4x)e^{x-2x^2}$ の極値を求める。

- まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

- $f'(x) = (-4)e^{x-2x^2} + (1-4x)e^{x-2x^2}(1-4x) = (-4 + (1-4x)^2)e^{x-2x^2} = (1 - 8x + 16x^2 - 4)e^{x-2x^2} = (16x^2 - 8x - 3)e^{x-2x^2}$

- $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$e^{x-2x^2} > 0$ なので、$16x^2 - 8x - 3 = 0$ を解く。

- $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(16)(-3)}}{32} = \frac{8 \pm \sqrt{64+192}}{32} = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{32} = \frac{8 \pm 16}{32} = \frac{24}{32}, \frac{-8}{32} = \frac{3}{4}, -\frac{1}{4}$

- $x = \frac{3}{4}$ と $x = -\frac{1}{4}$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるかを調べる。

- $x < -\frac{1}{4}$ のとき，$f'(x) > 0$

- $-\frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}$ のとき，$f'(x) < 0$

- $x > \frac{3}{4}$ のとき，$f'(x) > 0$

- よって，$x = -\frac{1}{4}$ で極大値、$x = \frac{3}{4}$ で極小値をとる。

- 極大値 $f(-\frac{1}{4}) = (1 - 4(-\frac{1}{4}))e^{-\frac{1}{4} - 2(\frac{1}{16})} = 2e^{-\frac{1}{4} - \frac{1}{8}} = 2e^{-\frac{3}{8}}$

- 極小値 $f(\frac{3}{4}) = (1 - 4(\frac{3}{4}))e^{\frac{3}{4} - 2(\frac{9}{16})} = -2e^{\frac{3}{4} - \frac{9}{8}} = -2e^{-\frac{3}{8}}$

(2) 関数 $y = \sqrt[3]{x^2 + 10}$ のグラフの変曲点の座標をすべて求める。

- $y = (x^2+10)^{\frac{1}{3}}$

- $y' = \frac{1}{3}(x^2+10)^{-\frac{2}{3}} (2x) = \frac{2x}{3(x^2+10)^{\frac{2}{3}}}$

- $y'' = \frac{2}{3} \frac{(x^2+10)^{\frac{2}{3}} - x(\frac{2}{3}(x^2+10)^{-\frac{1}{3}}(2x))}{(x^2+10)^{\frac{4}{3}}} = \frac{2}{3} \frac{(x^2+10)^{\frac{2}{3}} - \frac{4x^2}{3}(x^2+10)^{-\frac{1}{3}}}{(x^2+10)^{\frac{4}{3}}} = \frac{2}{3} \frac{3(x^2+10) - 4x^2}{3(x^2+10)^{\frac{5}{3}}} = \frac{2}{9} \frac{3x^2+30 - 4x^2}{(x^2+10)^{\frac{5}{3}}} = \frac{2}{9} \frac{-x^2+30}{(x^2+10)^{\frac{5}{3}}}$

- $y'' = 0$ となる $x$ を求める。$-x^2 + 30 = 0$ より、$x^2 = 30$ なので、$x = \pm \sqrt{30}$

- $x = \pm \sqrt{30}$ の前後で $y''$ の符号が変わるかを調べる。

- $x < -\sqrt{30}$ のとき、$y'' < 0$

- $-\sqrt{30} < x < \sqrt{30}$ のとき，$y'' > 0$

- $x > \sqrt{30}$ のとき，$y'' < 0$

- よって、$x = \pm \sqrt{30}$ で変曲点を持つ。

- $x = \pm \sqrt{30}$ のとき、$y = \sqrt[3]{30 + 10} = \sqrt[3]{40} = 2\sqrt[3]{5}$

- 変曲点の座標は $(\sqrt{30}, 2\sqrt[3]{5})$ と $(-\sqrt{30}, 2\sqrt[3]{5})$

3. 最終的な答え

(1) 極大値：$2e^{-\frac{3}{8}}$ (x = $-\frac{1}{4}$ のとき), 極小値：$-2e^{-\frac{3}{8}}$ (x = $\frac{3}{4}$ のとき)

(2) 変曲点の座標：$(\sqrt{30}, 2\sqrt[3]{5})$, $(-\sqrt{30}, 2\sqrt[3]{5})$