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与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{5}{x-5}\right)$$

解析学極限関数の極限計算
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。
lim⁡x→01x(1+5x−5)\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{5}{x-5}\right)

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を整理します。
1+5x−5=x−5x−5+5x−5=x−5+5x−5=xx−51 + \frac{5}{x-5} = \frac{x-5}{x-5} + \frac{5}{x-5} = \frac{x-5+5}{x-5} = \frac{x}{x-5}
したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。
lim⁡x→01x(xx−5)=lim⁡x→0xx(x−5)=lim⁡x→01x−5\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x-5}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(x-5)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x-5}
x→0x \to 0 のとき、1x−5\frac{1}{x-5} は 10−5=−15\frac{1}{0-5} = -\frac{1}{5} に収束します。

3. 最終的な答え

−15-\frac{1}{5}

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