次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 3 - \frac{9}{x+3} \right)$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( 3 - \frac{9}{x+3} \right)$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を計算します。

$3 - \frac{9}{x+3} = \frac{3(x+3) - 9}{x+3} = \frac{3x + 9 - 9}{x+3} = \frac{3x}{x+3}$

したがって、極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{3x}{x+3} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x(x+3)} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x+3}$

$x \to 0$ のとき、$x+3 \to 3$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{3}{x+3} = \frac{3}{0+3} = \frac{3}{3} = 1$

3. 最終的な答え

1