関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} t \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (2) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。 (3) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} t \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。

(3) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

積分区間が関数になっているので、微分積分学の基本定理を用いる。

$f(x) = \int_{-x}^{2x} t \sin t \, dt = \int_{0}^{2x} t \sin t \, dt - \int_{0}^{-x} t \sin t \, dt$

$f'(x) = (2x) \sin(2x) \cdot 2 - (-x) \sin(-x) \cdot (-1) = 4x \sin(2x) - x \sin(-x) (-1) = 4x\sin(2x)-x\sin(x)$

よって、$f'(x) = 4x \sin(2x) - x \sin(x)$

(2) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。

$f'(x) = x(4 \sin(2x) - \sin(x))$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x=0$ または $4\sin(2x) = \sin(x)$

$4(2 \sin x \cos x) = \sin x$

$8 \sin x \cos x = \sin x$

$\sin x (8 \cos x - 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{8}$

$0 \leq x \leq \pi$ なので、$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$。

$\cos x = \frac{1}{8}$ のとき、$x = \arccos \frac{1}{8}$。

$f(0) = \int_{0}^{0} t \sin t \, dt = 0$

$f(\pi) = \int_{-\pi}^{2\pi} t \sin t \, dt = \int_{-\pi}^{2\pi} t \sin t \, dt = [-t \cos t]_{-\pi}^{2\pi} - \int_{-\pi}^{2\pi} -\cos t \, dt = [-t \cos t]_{-\pi}^{2\pi} + [\sin t]_{-\pi}^{2\pi} = (-2\pi \cos(2\pi) + \pi \cos(-\pi)) + (\sin(2\pi) - \sin(-\pi)) = -2\pi - \pi + 0 - 0 = -3\pi$.

$x = \arccos \frac{1}{8} = \alpha$ とすると、$\cos \alpha = \frac{1}{8}$.

$f(\alpha) = \int_{-\alpha}^{2\alpha} t \sin t \, dt = [-t \cos t]_{-\alpha}^{2\alpha} + [\sin t]_{-\alpha}^{2\alpha} = -2\alpha \cos(2\alpha) + (-\alpha) \cos(-\alpha) + \sin(2\alpha) - \sin(-\alpha) = -2\alpha \cos(2\alpha) - \alpha \cos(\alpha) + \sin(2\alpha) + \sin(\alpha)$

$f(0)=0$, $f(\pi) = -3\pi$で、$0 < \alpha < \pi/2$ なので、$f(\alpha) > 0$.

したがって、$f(x)$が最大値を取るとき、$x=\alpha$, よって $\cos \alpha = \frac{1}{8}$.

(3) $0 \leq x \leq \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

$f(0)=0, f(\pi)=-3\pi$.

$f(x)$ の最小値は $f(\pi)=-3\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 4x \sin(2x) - x \sin(x)$

(2) $\cos \alpha = \frac{1}{8}$

(3) $-3\pi$