袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが50枚、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが50枚入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 袋Aから取り出したカードに書かれた数字が2桁の素数である確率。また、2の倍数または3の倍数である確率。 (2) 袋Bから取り出したカードに書かれた数字が3の倍数でない確率。 (3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率。また、取り出した2枚のカードに書かれた数字の積が9の倍数である確率。

1. 問題の内容

袋Aには1から50までの数字が書かれたカードが50枚、袋Bには51から100までの数字が書かれたカードが50枚入っている。袋Aと袋Bからそれぞれ1枚ずつカードを取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 袋Aから取り出したカードに書かれた数字が2桁の素数である確率。また、2の倍数または3の倍数である確率。

(2) 袋Bから取り出したカードに書かれた数字が3の倍数でない確率。

(3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率。また、取り出した2枚のカードに書かれた数字の積が9の倍数である確率。

2. 解き方の手順

(1) 袋Aについて

1から50までの2桁の素数は、11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47の11個である。

したがって、2桁の素数である確率は $\frac{11}{50}$ である。

1から50までの2の倍数は25個、3の倍数は16個である。2と3の最小公倍数である6の倍数は8個である。

したがって、2の倍数または3の倍数である個数は $25 + 16 - 8 = 33$ 個である。

確率は $\frac{33}{50}$ である。

(2) 袋Bについて

51から100までの数字のうち、3の倍数は、51, 54, 57, ..., 99の17個ある。

したがって、3の倍数でない数は $50 - 17 = 33$ 個である。

確率は $\frac{33}{50}$ である。

(3) 袋Aと袋Bから取り出したカードについて

袋Aで3の倍数は、3, 6, 9, ..., 48の16個である。確率は$\frac{16}{50}$である。

袋Bで3の倍数は、51, 54, 57, ..., 99の17個である。確率は$\frac{17}{50}$である。

ともに3の倍数である確率は $\frac{16}{50} \times \frac{17}{50} = \frac{272}{2500} = \frac{68}{625}$ である。

袋Aで3の倍数ではない確率は $\frac{34}{50}$ である。

袋Bで3の倍数ではない確率は $\frac{33}{50}$ である。

積が9の倍数になるのは、

(i) AとBがともに3の倍数である場合

(ii) Aが9の倍数、Bが3の倍数でない場合

(iii) Aが3の倍数でない、Bが9の倍数である場合

(iv) Aが3の倍数でなく9の倍数でもない、Bが9の倍数である場合

(v) Aが9の倍数である、Bが3の倍数でない場合

(vi) Aが3の倍数、Bが9の倍数である場合。

1から50までの9の倍数は、9, 18, 27, 36, 45の5個

51から100までの9の倍数は、54, 63, 72, 81, 90, 99の6個

Aが9の倍数である確率は $\frac{5}{50}$

Bが9の倍数である確率は $\frac{6}{50}$

Aが3の倍数だが9の倍数でない確率は $\frac{16-5}{50} = \frac{11}{50}$

Bが3の倍数だが9の倍数でない確率は $\frac{17-6}{50} = \frac{11}{50}$

Aが3の倍数でない確率は $\frac{50-16}{50} = \frac{34}{50}$

Bが3の倍数でない確率は $\frac{50-17}{50} = \frac{33}{50}$

求める確率は

$\frac{16}{50} \times \frac{17}{50} + \frac{5}{50} \times \frac{33}{50} + \frac{34}{50} \times \frac{6}{50} + \frac{11}{50} \times \frac{11}{50} + \frac{5}{50} \times \frac{17}{50} + \frac{11}{50} \times \frac{6}{50}$

$= \frac{272 + 165 + 204 + 121+ 85+66}{2500} = \frac{913}{2500}$

3. 最終的な答え

(1) 袋Aから取り出したカードに書かれた数字が2桁の素数である確率は $\frac{11}{50}$

2の倍数または3の倍数である確率は $\frac{33}{50}$

(2) 袋Bから取り出したカードに書かれた数字が3の倍数でない確率は $\frac{33}{50}$

(3) 取り出した2枚のカードに書かれた数字がともに3の倍数である確率は $\frac{68}{625}$

取り出した2枚のカードに書かれた数字の積が9の倍数である確率は $\frac{913}{2500}$