与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 9 & 16 \\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 2 & 3 & 4 \\

1 & 4 & 9 & 16 \\

1 & 8 & 27 & 64

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

まず、1行目を基準にして、2行目、3行目、4行目の1列目の要素を0にします。

$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$

$R_3 \rightarrow R_3 - R_1$

$R_4 \rightarrow R_4 - R_1$

これにより、行列は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 1 & 1 & 1 \\

0 & 1 & 2 & 3 \\

0 & 3 & 8 & 15 \\

0 & 7 & 26 & 63

\end{vmatrix}

$$

次に、1列目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$1 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

3 & 8 & 15 \\

7 & 26 & 63

\end{vmatrix}$

次に、同様に、1行目を基準にして、2行目、3行目の1列目の要素を0にします。

$R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$

$R_3 \rightarrow R_3 - 7R_1$

これにより、行列は次のようになります。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 2 & 6 \\

0 & 12 & 42

\end{vmatrix}

$$

さらに、1列目に関して余因子展開を行うと、次のようになります。

$1 \cdot \begin{vmatrix}

2 & 6 \\

12 & 42

\end{vmatrix}$

これは2x2行列の行列式なので、簡単に計算できます。

$2 \cdot 42 - 6 \cdot 12 = 84 - 72 = 12$

3. 最終的な答え

12