自然数全体の集合$U$の部分集合$A$, $B$, $C$がそれぞれ次のように定義されている。 $A = \{n | n \text{は} 12 \text{の約数}\}$ $B = \{n | n \text{は} 20 \text{の約数}\}$ $C = \{n | n \text{は} 30 \text{の約数}\}$ このとき、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$, $(A \cup B) \cap C$ を、それぞれ要素を書き並べて表せ。

1. 問題の内容

自然数全体の集合$U$の部分集合$A$, $B$, $C$がそれぞれ次のように定義されている。

$A = \{n | n \text{は} 12 \text{の約数}\}$

$B = \{n | n \text{は} 20 \text{の約数}\}$

$C = \{n | n \text{は} 30 \text{の約数}\}$

このとき、$A \cap B$, $A \cap B \cap C$, $A \cup B \cup C$, $A \cup (B \cap C)$, $(A \cup B) \cap C$ を、それぞれ要素を書き並べて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$A, B, C$ の要素を具体的に書き出す。

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$B = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$

$C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$

$A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分なので、

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$A \cap B \cap C$ は、$A$, $B$, $C$ の共通部分なので、

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

$A \cup B \cup C$ は、$A$, $B$, $C$ の和集合なので、

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

$B \cap C$ は、$B$ と $C$ の共通部分なので、

$B \cap C = \{1, 2, 5, 10\}$

$A \cup (B \cap C)$ は、$A$ と $B \cap C$ の和集合なので、

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

$A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合なので、

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20\}$

$(A \cup B) \cap C$ は、$A \cup B$ と $C$ の共通部分なので、

$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10\}$

3. 最終的な答え

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$A \cap B \cap C = \{1, 2\}$

$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30\}$

$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12\}$

$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 5, 6, 10\}$