全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と、部分集合 $A = \{1, 3, 6, 8\}$、 $B = \{2, 6, 8, 9\}$ が与えられている。 (1) $\overline{A \cup B}$ を求めよ。 (2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ と、部分集合 $A = \{1, 3, 6, 8\}$、 $B = \{2, 6, 8, 9\}$ が与えられている。

(1) $\overline{A \cup B}$ を求めよ。

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A \cup B}$ を求める。

まず、$A \cup B$ を求める。$A \cup B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の要素をすべて含んだ集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 6, 8, 9\}$

次に、$\overline{A \cup B}$ を求める。$\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を除いた集合である。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 3, 6, 8, 9\} = \{4, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。

まず、$\overline{A}$ を求める。$\overline{A}$ は、集合 $A$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $A$ の要素を除いた集合である。

$\overline{A} = U - A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 3, 6, 8\} = \{2, 4, 5, 7, 9, 10\}$

次に、$\overline{B}$ を求める。$\overline{B}$ は、集合 $B$ の補集合であり、全体集合 $U$ から $B$ の要素を除いた集合である。

$\overline{B} = U - B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{2, 6, 8, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 7, 10\}$

最後に、$\overline{A} \cup \overline{B}$ を求める。$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、集合 $\overline{A}$ と集合 $\overline{B}$ の要素をすべて含んだ集合である。

$\overline{A} \cup \overline{B} = \{2, 4, 5, 7, 9, 10\} \cup \{1, 3, 4, 5, 7, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cup B} = \{4, 5, 7, 10\}$

(2) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10\}$