A, B, C, Dの4人がそれぞれ品物を1つずつ持っています。くじ引きで品物を分けるとき、各人が自分の品物を受け取らないような分け方は何通りあるかを求める問題です。これは完全順列の問題です。

1. 問題の内容

A, B, C, Dの4人がそれぞれ品物を1つずつ持っています。くじ引きで品物を分けるとき、各人が自分の品物を受け取らないような分け方は何通りあるかを求める問題です。これは完全順列の問題です。

2. 解き方の手順

完全順列の総数を求める問題です。4人の場合なので、モンモール数 (撹乱順列数) を考えます。

$D_n$ を n 個の要素の完全順列の数とすると、以下の漸化式が成り立ちます。

$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$

ここで、$D_1 = 0$ (1つのものを並べ替えて自分自身にならない並べ方は0通り)、$D_2 = 1$ (2つのものを入れ替える方法)、$D_3 = 2$ (3つの場合: 2 3 1, 3 1 2)です。

$D_4$を計算します。

$D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2 + 1) = 3(3) = 9$

または、直接計算も可能です。4人の場合、順列全体から少なくとも一人が自分のものをもらう場合を引く方法でも求められます。

4人の並び方の総数は $4! = 24$ 通りです。

少なくとも一人が自分のものをもらう場合の数を求めるのは少し複雑ですが、包除原理を使うと計算できます。

別の考え方として、4人の名前をA,B,C,Dとし、それぞれの品物もA,B,C,Dとします。

AさんがBさんの品物をもらう場合を考えます。このとき、残りの3人がどうなるかを考えます。

(1) AさんがBさんの品物をもらい、BさんがAさんの品物をもらう場合、CさんとDさんは品物を交換するしかありません。このパターンは1通りです。AさんとC, AさんとDの場合も同様に考えられるため、このパターンは計3通りです。

(2) AさんがBさんの品物をもらい、BさんがAさんの品物をもらわない場合を考えます。Aさん以外のB,C,Dの3人が、それぞれA,C,Dの品物を誰がもらうかを考えます。これは3人の完全順列数$D_3 = 2$通りです。AさんがCさんの品物をもらう場合、AさんがDさんの品物をもらう場合も同様に考えられるため、このパターンは計$3 \times 2 = 6$通りです。

以上より、$3 + 6 = 9$通りとなります。

3. 最終的な答え

9通り