P, Q, R, S, Tの5人が横一列に並んで写真を撮る。PとQが両端にならない並び方は何通りか。

1. 問題の内容

P, Q, R, S, Tの5人が横一列に並んで写真を撮る。PとQが両端にならない並び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 5人の並び方全体の総数を計算する。5人を一列に並べる並び方は、$5!$ で計算できます。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通り

(2) PまたはQが端に来る並び方の数を計算する。

まず、Pが端に来る場合を考える。Pが左端に来る場合、残りの4人の並び方は$4! = 24$通り。同様に、Pが右端に来る場合も$4! = 24$通り。合計で$24 + 24 = 48$通り。

次に、Qが端に来る場合を考える。Pと同様に、Qが左端に来る場合と右端に来る場合があり、それぞれ$4! = 24$通り。合計で$24 + 24 = 48$通り。

しかし、PとQが同時に端に来る場合が重複して数えられているので、これを取り除く必要があります。

(3) PとQが同時に端に来る並び方の数を計算する。

Pが左端、Qが右端の場合、残りの3人の並び方は$3! = 6$通り。

Qが左端、Pが右端の場合、残りの3人の並び方も$3! = 6$通り。

したがって、PとQが端に来る並び方の総数は、$6 + 6 = 12$通り。

(4) PまたはQが端に来る並び方の数を計算する。

包除原理を用いて、Pが端に来る並び方の数とQが端に来る並び方の数を足し合わせ、PとQが同時に端に来る並び方の数を引きます。

$48 + 48 - (2 \times 3!) = 48 + 48 - (2 \times 6) = 96 - 12 = 84$通り

(5) PもQも端にならない並び方の数を計算する。

全体の並び方から、PまたはQが端に来る並び方の数を引きます。

$120 - 84 = 36$通り

3. 最終的な答え

36通り