問題は以下の通りです。 * 9個の要素を持つ集合Aの部分集合の総数を求める。 * Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数を求める。 * 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 * 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

* 9個の要素を持つ集合Aの部分集合の総数を求める。

* Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数を求める。

* 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

* 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

* 9個の要素を持つ集合Aの部分集合の総数：各要素は部分集合に「入る」か「入らない」かの2通りなので、$2^9$を計算する。

* Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数： 2個の要素は必ず含まれるので、残りの7個の要素について、部分集合に「入る」か「入らない」かを考える。$2^7$を計算する。

* 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法：各人はA,B,Cのいずれかの部屋に入るので3通り。5人それぞれに3通りの選択肢があるので、$3^5$を計算する。

* 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法：各人をA,B,Cのいずれかの組に入れる。ただし、空の組があっても良い。各人は3つの組のいずれかに入るので、$3^5=243$通り。ただし、全て同じ組に入る場合は除外する必要があるが、問題文から曖昧なため、ここでは全ての組に人が入ることを想定する。

3. 最終的な答え

* 9個の要素を持つ集合Aの部分集合の総数： $2^9 = 512$通り

* Aの2個の特定の要素を含むAの部分集合の総数： $2^7 = 128$通り

* 5人を3つの部屋A,B,Cに入れる方法： $3^5 = 243$通り

* 5人を3つの組A,B,Cに分ける方法：$S(5,1)+S(5,2)+S(5,3)=1+15+25=61$通り。ただし、この問題の意図が分からなかったため、答えは自信がありません。ここで、$S(n,k)$は第二種スターリング数を表し、$n$個の要素を$k$個の空でない集合に分割する方法の数です。