問題は3つあります。 * 4つの数字1, 2, 3, 4を1個ずつ使って4桁の整数を作るとき、奇数は何個作れるか。 * 5つの文字の集合 $U = \{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。 * 子ども3人と大人2人が1列に並ぶとき、特定大人Aと特定の子どもBが隣り合うように並ぶ並び方は何通りあるか。また、子どもは子ども、大人は大人で、それぞれ続いて並ぶ並び方は何通りあるか。 * 立方体の6つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の6色を1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになるときは、同じ塗り方とみなす。

1. 問題の内容

問題は3つあります。

* 4つの数字1, 2, 3, 4を1個ずつ使って4桁の整数を作るとき、奇数は何個作れるか。

* 5つの文字の集合 $U = \{a, b, c, d, e\}$ の部分集合の総数を求めよ。

* 子ども3人と大人2人が1列に並ぶとき、特定大人Aと特定の子どもBが隣り合うように並ぶ並び方は何通りあるか。また、子どもは子ども、大人は大人で、それぞれ続いて並ぶ並び方は何通りあるか。

* 立方体の6つの面に、青、白、赤、黄、紫、緑の6色を1面ずつ塗るとき、異なる塗り方は何通りあるか。ただし、回転してすべての面の色の並びが同じになるときは、同じ塗り方とみなす。

2. 解き方の手順

* 問題1:

* 奇数となるためには、一の位が奇数である必要があります。使用できる奇数は1と3なので、一の位の選び方は2通りです。

* 残りの千の位、百の位、十の位は、残った3つの数字を自由に並べることができます。これは $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

* したがって、奇数の総数は $2 \times 6 = 12$ 個です。

* 問題2:

* 集合 $U$ の要素数は5です。部分集合の総数は $2^n$ で計算できます。ここで、$n$ は要素数です。

* したがって、部分集合の総数は $2^5 = 32$ です。

* 問題3:

* (1) 特定の大人Aと特定の子どもBが隣り合う場合、AとBを一つの塊として考えます。この塊と残りの子ども2人、大人1人の合計4つを並べる順列は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。さらに、AとBの並び順はAが左、Bが左の2通りがあるので、合計 $24 \times 2 = 48$ 通りです。

* (2) 子どもは子ども、大人は大人でそれぞれ続いて並ぶ場合、子ども3人の並び方は $3! = 6$ 通り、大人2人の並び方は $2! = 2$ 通りです。子どもグループと大人グループの並び方は、子どもが先か大人が先かの2通りです。したがって、合計 $6 \times 2 \times 2 = 24$ 通りです。

* 問題4:

* まず、6色から1色を選び、立方体の底面に塗ります。これは6通りです。

* 次に、上面の色を決めます。これは残りの5色から1色を選ぶので5通りです。

* 残りの4つの側面は円順列になるので、$(4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

* したがって、立方体の塗り方の総数は $6 \times 5 \times 6 / 6= 30$ 通りです。 （底の色を固定して回転を考慮すると、 $5 \times 3! = 30$）

3. 最終的な答え

* 問題1: 12個

* 問題2: 32

* 問題3: (1) 48通り、(2) 24通り

* 問題4: 30通り