(1) 5人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。 (2) 5人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

(1) 5人を3つの部屋A, B, Cに入れる方法は何通りあるか。ただし、1人も入らない部屋があってもよいものとする。

(2) 5人を3つの組A, B, Cに分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

5人のそれぞれが、A, B, Cの3つの部屋のいずれかに入る。

したがって、各人について3通りの部屋の選び方がある。

5人それぞれについて3通りの選び方があるので、全部で $3^5$ 通りの方法がある。

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

(2)

5人を3つの組A, B, Cに分ける。

この問題は、(1)とは異なり、組の区別がない場合に注意する必要がある。

まず、考えられるすべての組み合わせを列挙する。部屋に誰も入らない状況は許されない。

(5, 0, 0) -> これは不可

(4, 1, 0) -> これは不可

(3, 2, 0) -> これは不可

(3, 1, 1)

(2, 2, 1)

上記2パターンのみが該当する。

(3, 1, 1)の場合：

5人の中から3人を選ぶ方法は ${5 \choose 3}$ 通り。残りの2人から1人を選ぶ方法は ${2 \choose 1}$通り。最後に残りの1人を選ぶ方法は ${1 \choose 1}$通り。

しかし、1人の組は区別がないので、${2 \choose 1} \times {1 \choose 1}$を2!で割る必要がある。

したがって、${5 \choose 3} \times \frac{{2 \choose 1}{1 \choose 1}}{2!} = 10 \times \frac{2}{2} = 10$

(2, 2, 1)の場合：

5人の中から2人を選ぶ方法は ${5 \choose 2}$ 通り。残りの3人から2人を選ぶ方法は ${3 \choose 2}$通り。最後に残りの1人を選ぶ方法は ${1 \choose 1}$通り。

同様に、2人の組は区別がないので、${5 \choose 2} \times {3 \choose 2}$を2!で割る必要がある。

したがって、$\frac{{5 \choose 2}{3 \choose 2}}{2!} \times {1 \choose 1} = \frac{10 \times 3}{2} \times 1 = 15$

よって、合計は$10+15=25$通り

3. 最終的な答え

(1) 243通り

(2) 25通り