10人を2つの部屋A, Bに入れる場合、または2つのグループに分ける場合の数を求める問題です。 (1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求める。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよい。 (2) 10人を2つのグループA, Bに分ける方法を求める。 (3) 10人を2つのグループに分ける方法を求める。

1. 問題の内容

10人を2つの部屋A, Bに入れる場合、または2つのグループに分ける場合の数を求める問題です。

(1) 10人を2つの部屋A, Bに入れる方法を求める。ただし、10人全員が同じ部屋に入ってもよい。

(2) 10人を2つのグループA, Bに分ける方法を求める。

(3) 10人を2つのグループに分ける方法を求める。

2. 解き方の手順

(1) 各人は部屋Aまたは部屋Bのいずれかに入るので、各人の選択肢は2通り。10人それぞれが2通りの選択肢を持つので、合計で $2^{10}$ 通りの分け方があります。

(2) (1)と同様に、10人を部屋A,Bに入れる分け方は$2^{10}$通りですが、全員が同じ部屋に入る場合（全員がA、全員がB）を除く必要があります。なぜなら、問題文ではグループA,Bに「分ける」と書いてあるため、少なくとも1人は各グループに属している必要があります。したがって、$2^{10}$から2通りを引いたものが答えです。

(3) (2)の場合と似ていますが、グループAとグループBの区別がないため、(2)で求めた場合の数を2で割る必要があります。ただし、(2)の結果が奇数の場合は注意が必要です。

(1)

各人が部屋Aまたは部屋Bのいずれかに入るので、各人の選択肢は2通り。

10人それぞれが2通りの選択肢を持つので、合計で $2^{10}$ 通りの分け方があります。

$2^{10} = 1024$

(2)

10人を部屋A,Bに入れる分け方は$2^{10}$通りですが、全員が同じ部屋に入る場合（全員がA、全員がB）を除く必要があります。

したがって、$2^{10} - 2$通り。

$2^{10} - 2 = 1024 - 2 = 1022$

(3)

(2)の場合と似ていますが、グループAとグループBの区別がないため、(2)で求めた場合の数を2で割る必要があります。

$\frac{1022}{2} = 511$

3. 最終的な答え

(1) 1024通り

(2) 1022通り

(3) 511通り