碁盤目状の道路において、地点Aから地点Bまで最短経路で行く方法について、以下の問いに答える問題です。 (1) すべての道順は何通りあるか。 (2) 地点Cを通る道順は何通りあるか。 (3) 地点Pを通る道順は何通りあるか。 (4) 地点Pも地点Qも通る道順は何通りあるか。

1. 問題の内容

碁盤目状の道路において、地点Aから地点Bまで最短経路で行く方法について、以下の問いに答える問題です。

(1) すべての道順は何通りあるか。

(2) 地点Cを通る道順は何通りあるか。

(3) 地点Pを通る道順は何通りあるか。

(4) 地点Pも地点Qも通る道順は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) すべての道順

AからBまで、右に6回、上に5回進む必要があります。

したがって、合計11回の移動のうち、右に進む6回を選ぶ組み合わせを考えます。

これは、11個の中から6個を選ぶ組み合わせ $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できます。

$_{11}C_6 = \frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

(2) 地点Cを通る道順

AからCまでの道順と、CからBまでの道順をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからCまでは、右に2回、上に1回進む必要があります。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3$

CからBまでは、右に4回、上に4回進む必要があります。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2 \times 7 \times 5 = 70$

したがって、地点Cを通る道順は $3 \times 70 = 210$通りです。

(3) 地点Pを通る道順

AからPまでの道順と、PからBまでの道順をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからPまでは、右に4回、上に2回進む必要があります。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

PからBまでは、右に2回、上に3回進む必要があります。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、地点Pを通る道順は $15 \times 10 = 150$通りです。

(4) 地点Pも地点Qも通る道順

AからPまでの道順、PからQまでの道順、QからBまでの道順をそれぞれ計算し、掛け合わせます。

AからPまでは、(3)より15通りです。

PからQまでは、右に1回、上に1回進む必要があります。

$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$

QからBまでは、右に1回、上に2回進む必要があります。

$_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$

したがって、地点Pも地点Qも通る道順は $15 \times 2 \times 3 = 90$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 462通り

(2) 210通り

(3) 150通り

(4) 90通り