YOKOHAMAの8文字を1列に並べる問題です。 (1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。 (2) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる問題です。

(1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるか。

(2) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) OとAが必ず偶数番目にある並べ方

YOKOHAMAの8文字において、偶数番目は2, 4, 6, 8番目の4箇所です。

この4箇所にO, O, A, Aを並べる必要があります。

O, O, A, Aの並べ方は、同じものを含む順列の考え方より、

$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$ 通りです。

次に、残りの4文字Y, K, H, Mを奇数番目の1, 3, 5, 7番目に並べます。

これは4! = $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

したがって、求める並べ方は、

$6 \times 24 = 144$ 通りです。

(2) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方

Y, K, H, Mを全て同じ文字（例えばX）とみなして、YOKOXOXOの8文字を並べます。

この並べ方は、同じものを含む順列の考え方より、

$\frac{8!}{2!2!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2 \times 2} = 2 \times 7 \times 6 \times 5 = 420$ 通りです。

このように並べた後、4つのXを左から順にY, K, H, Mに置き換えることで、Y, K, H, Mがこの順に並んでいる並べ方が得られます。

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 420通り