A, B, C, D, Eの5文字をすべて使ってできる順列を辞書式順に並べる。 (1) DBEACは何番目の文字列か。 (2) 63番目の文字列は何か。

1. 問題の内容

A, B, C, D, Eの5文字をすべて使ってできる順列を辞書式順に並べる。

(1) DBEACは何番目の文字列か。

(2) 63番目の文字列は何か。

2. 解き方の手順

(1) DBEACが何番目か計算する。

まず、Aから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

次に、Bから始まる順列も $4! = 24$ 個ある。

次に、Cから始まる順列も $4! = 24$ 個ある。

Dから始まる順列で、DAから始まる順列は $3! = 6$ 個ある。

DBから始まる順列で、DBAから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

DBEから始まる順列で、DBEAから始まる順列は $1! = 1$ 個ある。

DBEACはDBEAの次にくるので、1番目。

したがって、DBEACの順番は、

$24 + 24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 82$ 番目である。

(2) 63番目の文字列を求める。

Aから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

Bから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

Cから始まる順列は $4! = 24$ 個ある。

$24 + 24 + 24 = 72$ なので、63番目はCから始まる。

CAから始まる順列は $3! = 6$ 個ある。

CBから始まる順列は $3! = 6$ 個ある。

$24 + 24 + 6 + 6 = 60$ なので、CDから始まる。

CDAから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

CDBから始まる順列は $2! = 2$ 個ある。

$60+2+2 = 64$ なので、CDEから始まる。

CDEAから始まる順列は $1! = 1$ 個ある。

より、$60+2 = 62$番目はCDBEA。

$60+1 = 61$番目はCDAEB。

$62$番目はCDBEA。

CDEAB, CDEBA

したがって、63番目はCDEAB。

3. 最終的な答え

(1) 82

(2) CDEAB