先生3人と生徒5人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。 (1) 先生3人が続いて並ぶ。 (2) 両端が生徒である。

1. 問題の内容

先生3人と生徒5人が1列に並ぶとき、次の並び方は何通りあるか。

(1) 先生3人が続いて並ぶ。

(2) 両端が生徒である。

2. 解き方の手順

(1) 先生3人が続いて並ぶ場合

先生3人をひとまとめにして考えます。すると、先生のグループ1つと生徒5人の合計6つを並べることになります。

6つのものを並べる順列は $6!$ 通りです。

さらに、先生3人のグループ内での並び方は $3!$ 通りです。

したがって、先生3人が続いて並ぶ場合の数は $6! \times 3!$ となります。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$

(2) 両端が生徒である場合

まず、両端の生徒を決めます。5人の生徒の中から2人を選んで並べるので、$5P2$ 通りです。

$5P2 = 5 \times 4 = 20$

残りの6人（先生3人と生徒3人）を並べる順列は $6!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

したがって、両端が生徒である場合の数は $5P2 \times 6! = 20 \times 720$ となります。

$20 \times 720 = 14400$

3. 最終的な答え

(1) 先生3人が続いて並ぶ場合：4320通り

(2) 両端が生徒である場合：14400通り