10人を2つのグループに分ける方法が何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

10人を2つのグループに分ける方法が何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

10人を2つのグループに分けるということは、一方のグループの人数を決めれば、もう一方のグループの人数も決まります。

例えば、一方のグループが1人の場合、もう一方のグループは9人になります。

ただし、グループに区別がないため、(1人, 9人)と(9人, 1人)は同じ分け方として数えます。

一方のグループの人数は、0人から10人まで考えられますが、2つのグループに分ける必要があるため、0人または10人になる場合は考えません。

また、一方のグループの人数が6人以上になると、もう一方のグループの人数は4人以下になり、重複が生じます。

例えば、(6人, 4人)と(4人, 6人)は同じ分け方になります。

したがって、一方のグループの人数は1人から5人までを考えれば十分です。

それぞれの人数について、組み合わせの数を考えます。

* 1人のグループの場合： ${}_{10}C_1$ 通り

* 2人のグループの場合： ${}_{10}C_2$ 通り

* 3人のグループの場合： ${}_{10}C_3$ 通り

* 4人のグループの場合： ${}_{10}C_4$ 通り

* 5人のグループの場合： ${}_{10}C_5$ 通り

それぞれの組み合わせの数を計算します。

* ${}_{10}C_1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = \frac{10!}{1!9!} = 10$

* ${}_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

* ${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

* ${}_{10}C_4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

* ${}_{10}C_5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$

これらの数を合計します。

$10 + 45 + 120 + 210 + 252 = 637$

しかし、5人と5人のグループ分けの場合、${}_{10}C_5$は、グループの区別を考慮して2で割る必要があるため、正しくは、$252/2=126$となります。

したがって、合計は

$10 + 45 + 120 + 210 + 126 = 511$

または、すべての組み合わせから引いていく方法もあります。

10人の各々が、どちらのグループに入るかという観点で考えると、$2^{10} = 1024$通りの分け方があります。

しかし、全員が同じグループに入る場合は2通りあります。また、グループに区別がないので、半分の$(1024-2)/2=511$が答えになります。

3. 最終的な答え

511通り